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Cinemática y Dinámica

Introducción

La dinámica es una de las dos ramas de la Mecánica de cuerpos rígidos que estudia el comportamiento de los cuerpos rígidos en movimiento.  Los problemas de dinámica en los que se conocen los movimientos son análogos a los problemas de estática, por cuanto las Leyes de Newton llevan a ecuaciones en las cuales pueden despejarse las fuerzas incógnitas. Los problemas en los que se desconocen ciertos aspectos del movimiento son más difíciles. En estos Problemas la aplicación de la segunda ley de Newton da lugar, normalmente, a un sistema de ecuaciones diferenciales que pueden tener una resolución relativamente fácil o muy difícil. Teniendo en cuenta esto, se dará por hecho que el alumno de dinámica tiene un conocimiento suficiente del cálculo diferencial e integral.  

Iniciaremos  nuestro estudio de la dinámica al considerar el movimiento de una partícula. El estudio del movimiento sin considerar las causas de ese movimiento se denomina cinemática y se divide en dos partes: el análisis de cuerpos que se pueden modelar como partículas, y el ánalisis de cuerpos rígidos con una geometría definida. Si un cuerpo se modela como una partícula, su posición en el espacio está dada por tres coordenadas, medidas con respecto a un sistema coordenado fijo , que se denomina sistema de referencia inercial primario y son las coordenadas del punto que ocupa la partícula en el espacio en cualquier instante de tiempo. Esta posición se expresa por un vector de posición r. El movimiento de la partícula se puede describir al expresar las coordenadas como una función del tiempo y la curva que traza la partícula se denomina recorrido o trayectoria del movimiento. Una partícula, al ser un punto, sólo puede trasladarse; no tiene sentido especificar la rotación u orientación de un punto. Por tanto la partícula tiene como máximo tres grados de libertad, uno para cada dirección coordenada.

Los conceptos básicos de cinemática, o la geometría del espacio, serán introducidos al restringir la partícula a moverse a una sola dirección, es decir, con un solo grado de libertad. Este tipo de movimiento, cuando se expresa en coordenadas rectilíneas, se denomina movimiento rectilíneo, es unidimensional, y el vector de posición sólo tiene una componente. El movimiento se puede describir en notación escalar, y postergaremos el desarrllo de la cinemática vectorial hasta que sea necesario.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

El movimiento rectilíneo de una partícula, es decir en línea recta, es un movimiento en una dimensión y se puede describir al emplear sólo la notación escalar. Para especificar la posición de la partícula en el espacio, se requiere establecer una sola coordenada rectilínea con origen y sentido de la dirección adecuados. Como siempre, el sistema coordenado lo establece la persona que está analizando el problema, y, por tanto, no hay un sistema coordenado correcto o equivocado.

En la figura de la derecha se muestra un sistema coordenado empleado para representar la posición de una partícula en movimiento rectilíneo. También la imágen nos muestra el desplazamiento de dicha posición que va de O a P durante un intervalo de tiempo particular. Se denota por Ds = posición final – posición inicial. El incremento de tiempo también se denota de forma similar por Dt = tiempo final – tiempo inicial.

Ahora, la velocidad promedio, o razón de cambio de la posición durante este intervalo de tiempo se define como:

v=Ds/Dt

Para determinar la velocidad instantánea, que es la velocidad real en cualquier instante de tiempo, se tiene que hacer el intervalo de tiempo muy corto, es decir, Dt=0. De esta manera, la velocidad instantanea es igual al limite cuando Dt tiende a cero de la velocidad promedio, es decir, la derivada de la posición con respecto al tiempo:

v = ds/dt

La velocidad se define de manera formal como la razón de cambio de de la posición s con respecto al tiempo. La posición se considera una función del tiempo s(t), y la velocidad también como una función del tiempo v(t). La velocidad puede ser constante, puede cambiar con el tiempo, ya sea aumentando o disminuyendo su magnitud o hacerse negativa indicando movimiento en la dirección negativa. La distancia que se mueve la partícula es la acumulación de todo el movimiento, tanto positivo como negativo, y es igual a la integral del valor absoluto de la velocidad con respecto al tiempo. Para medir este cambio en la velocidad, se introduce el concepto de aceleración. La aceleración se define como la razón de cambio de la velocidad en el tiempo y la aceleración promedio se define como el cambio en la velocidad entre el intervalo del tiempo correspondiente:

a = Dv/Dt

Por tanto, la aceleración instantánea es:

a = dv/dt 

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo o la segunda derivada de la posición con respecgto al tiempo.

Movimiento rectilíneo uniforme Este movimiento ocurre cuando la aceleración de la partícula es cero, es decir:

a = dv/dt = 0

Si la velocidad inicial es v0, integrando en el tiempo a a(t)=0 se obtiene una velocidad constante:

v = v0

Esta ecuación demuestra que si la aceleración es cero, la velocidad es constante; es decir, se presenta movimiento rectilíneo uniforme 

En la grafica de la derecha se puede observar que el cambio de la posición contra el tiempo es lineal.

Si x0 denota el desplazamiento inicial (el desplazamiento cuando t=0), entonces integrando la velocidad constante se obtiene:

s = v0t + s0

Ésta es una forma de la primera ley de Newton, que establece que en ausencia de fuerza neta externa, el cambio en la cantidad de movimiento lineal de una partícula es cero.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado   En este caso, la aceleración que actúa sobre la partícula es constante. La aceleración constante se expresa como:

a = a0

Esta expresión es un caso especial de una ecuación diferencial separable. La aceleración se podría tratar como una función del tiempo, es decir, a(t) = a0t, o como una función de la posición, o sea, a(s) = a0s. Integrando la aceleración constante se obtiene:

v = a0t + v0

donde v0 de nuevo denota la velocidad inicial. Entonces integrando de nuevo se obtiene:

s = a0(t^2) + v0t + s0

donde s0 denota el desplazamiento inicial en el tiempo inicial, t = 0.

En las gráficas de arriba se ilustra la posición, velocidad y aceleración en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Este tipo de movimiento se ve mucho en problemas de autos, trenes, aviones , etc. que se mueven en linea recta, ya sea a velocidad constante o a aceleración constante

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A continuación se muestra un video en donde un profesor ilustra los conceptos anteriormente descritos de una manera sencilla, para reforzar lo leído anteriormente 

 

Movimiento circular

El movimiento circular es una aplicación muy importante de las coordenadas normales y tangenciales. En el movimiento circular el radio de curvatura es constante y sólo se necesita el ángulo θ(t) para especificar la posición de la partícula. El vector unitario normal está dirigido hacia adentro a lo largo de este radio y el vector unitario tangente siempre es tangente al círculo.  

La aceleración angular α está relacionada con la aceleración lineal en la dirección tangencial:

d2s/dt2 = r(d2θ/dt2) = rα

El movimiento se describe por un solo grado de libertad, es decir, el ángulo θ. Las definiciones de velocidad angular y aceleración angular, son análogas a las definiciones de velocidad y aceleración rectilíneas.

α = dω/dt          a = dv/dt

ω = dθ/dt        v = ds/dt

En el siguiente video se explican el movimiento circular uniforme así como una ilustración al final de donde se puede observar este tipo de movimiento.

En este último video de este tema se habla sobre la aceleración centrípeta

 

Movimiento parabólico (movimiento de un proyectil)

La composición de un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Considere el movimiento de una partícula sólo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Si el movimiento es cercano a la superficie terrestre, la aceleración de la partícula será constante durante el movimiento y estará dirigida hacia el centro de la Tierra. Este tipo de movimiento se denomina movimiento de un proyectil y se pueden encontrar ejemplos cuando se lanza o golpea una pelota, cuando se rocían partículas de agua con una manguera y en muchos otros movimientos comunes de partículas.

Ejemplos

                                                                                                                                                                                  

 

 

 

 

 

 

 

La partícula se moverá de una manera parabólica en un plano formado por la velocidad inicial y el eje vertical.

En el siguiente video se explican las ecuaciones del tiro parabólico y sus casos de estudio:

En el siguiente link se muestra una animación didáctica de este movimiento: http://www.educaplus.org/play-110-Tiro-parab%C3%B3lico.html

Tiro Vertical

Es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad, sólo que ahora es la aceleración la que se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro vertical comprende subida y bajada de los objetos. En él nunca la velocidad inicial es cero, cuando el objeto alcanza su altura máxima su velocidad en este punto es cero, mientras el objeto está de subida el signo de la velocidad es positivo y cuando desciende el signo de la velocidad es negativo. La velocidad de subida es igual a la de bajada.

Este tipo de movimiento se aplica a cualquier objeto que es disparado hacia arriba.

A continuación se muestra un video en donde puedes comprender mejor este movimiento:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En este último video se ilustra un problema de tiro vertical

En el siguiente link se muestran las fórmulas usadas en este tipo de movimiento y al final de la página encontrarás un applet sobre el tiro vertical: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete3/cohete3.html 

Conclusión

El estudio de la cinemática tiene un sin fin de aplicaciones en la vida diaria, en movimientos tantos rectos como curvos, esto nos ayuda a modelar problemas en los que influya la geometría del movimiento, que ha dado pie a describir el movimiento de los planetas, conceptos de la física muy importantes como la velocidad instantánea y aceleración ya que sin ellos la física estaría muy limitada, gracias a la cinemática han avanzado muchas ramas de la ciencia y, sobre todo, de la tecnología que en este último siglo ha avanzado a pasos agigantados y que sigue creciendo. No creamos que la física moderna ha reemplazado a la física clásica, esta sigue siendo muy necesaria para describir el movimiento de objetos macroscopicos y seguirá siendo muy necesaria en el futuro. 

Referencias Bibliográficas

Soutas-Little, R, (2009), Ingeniería Mecánica Dinamica, (Ed. Computacional, 1era), Ed. Cengage Learning, México D.F.

Beer, F. y Johnston E., (2007), Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica, (Ed. 8va), Ed. McGraw Hill, México D.F.

Riley, W y Sturges L., (s.f.), Ingeniería Mecánica Dinámica,  (Ed.2da), Ed. Reverté, S.A., México D.F.

S.N, (s.f), Movimiento Vertical de un Cohete, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete3/cohete3.html, Obtenido el Domingo 21 de febrero de 2010.

Netto, R., (s.f), Física Cinemática, http://www.fisicanet.com.ar/fisica/cinematica/tp05_muv.php, Obtenido el Domingo 21 de febrero de 2010.

S.N., (s.f.), Física Estática y Dinámica, http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/movimiento6.htm, Obtenido e Domingo 21 de febrero de 2010.

Rivero L., (s.f.), Tiro Vertical, http://luzrivero.tripod.com/id36.html, Obtenido e Domingo 21 de febrero de 2010.

S.N., (s.f.), Caída Libre y Movimiento Vertical, http://shibiz.tripod.com/id11.html, Obtenido el Domingo 21 de febrero de 2010.

S.N., (s.f.), Movimiento Parabólico, http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabolico.htm, Obtenido el 21 de febrero de 2010.

Sokolovsky S., (s.f.), Movimiento, http://soko.com.ar/Fisica/MRU_MRUV.htm, Obtenido el 21 de febrero de 2010.

 

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One Comment

  1. El video del profesor que explica el concepto no esta tan claro.
    cal. 95


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