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ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma

a0(x)y´+a1(x)y=ƒ(x)y^r, donde r≠0,1

se denomina ecuación diferencial de Bernoulli.

Es claro que si r=0 tenemos una ecuación diferencial lineal

a0(x)y´+a(x)y=ƒ(x)y^0 → a0(x)y´+a(x)y=ƒ(x)

Tambien si r=1 entonces tenemos una ecuación diferencial lineal

a0(x)y´+a(x)y=ƒ(x)y → a0(x)y´+a(x)y – ƒ(x)y=0 → a0(x)y´+[a(x) – ƒ(x)]y=0 → a0(x)y´+h(x)y=0

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial de Bernoulli

 a0(x)y´+a1(x)y=ƒ(x)y^r, donde r≠0,1

se puede convertir en una ecuación diferencial lineal realizando el siguiente procedimiento:

1.- Si se multiplica la ED por y^-1 se obtiene:

a0(x)y´(y^-r)+a1(x)(y^1-r)=ƒ(x)         (1.1)

2.- Dado que se busca una ED lineal, esto nos sugiere el cambio de variable:

u=y^1-r

3.- Derivando u con respecto a x:

u´=(1-r)(y^-r)(y´) → u´/(1-r)=(y^-r)(y´)

Sustituyendo u y u´ en la ecuación (1.1), se obtiene:

[a0(x)/(1-r)]u´+a1(x)u=f(x)

Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal para u en función de x. La variable dependiente en este caso es u.

4.- Esta ecuación diferencial se resuelve con los métodos de ecuaciones lineales ya estudiados. En caso de que no los recuerdes aqui tienes un video de la solución para ED lineales:

En el siguiente video se muestra una explicación de la ecuación de Bernoulli, así como un ejemplo de cómo resolver ED de Bernoulli

 

CONCLUSIONES

Este método es muy interesante ya que se puede encontrar la solución de una ED ordinaria de primer orden no lineal haciendo una especie de transformación lineal. Esto resulta útil cuando tenemos un exponente en la variable dependiente que nos vuelve la vida imposible al momento de querer acomodar la ecuación y resolverla. Comprender este y otros métodos nos ayudará en cursos de Física universitaria para resolver modelos matemáticos mucho mas complejos.

BIBLIOGRAFÍA

Zill, Dennis G., (2009), Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, (Ed. 9na), Ed. Cengage Learning, México D.F.

S.N., (n.f.), Métodos de solución de ED de primer orden, http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/ImpBernoulli.pdfObtenido el día 24 de febrero de 2010.

Plaat, Otto, (1974), Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, (Ed. 1era), Ed. Reverté, Barcelona

Carmona, Isabel, (1992), Ecuaciones Diferenciales, (Ed. 4ta), Ed. Pearson, Edo. de México

 

 

 

One Comment

  1. muy bien 100


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